Introduction à la modélisation statistique bayésienne

Un cours en R, Stan, et brms

Ladislas Nalborczyk (LPC, LNC, CNRS, Aix-Marseille Univ)

Préface 👋 👋

Ce cours est grandement inspiré des livres suivants :

  • McElreath, R. (2016, 2020). Statistical Rethinking: A Bayesian Course with Examples in R and Stan. CRC Press.

  • Kurz, S. (2019). Statistical Rethinking with brms, ggplot2, and the tidyverse. Available online.

  • Kruschke, J. K. (2015). Doing Bayesian Data Analysis, Second Edition: A Tutorial with R, JAGS, and Stan. Academic Press / Elsevier.

  • Gelman, A., Carlin, J. B., Stern, H. S., Dunson, D. B., Vehtari, A., & Rubin, D. B. (2013). Bayesian Data Analysis, third edition. London: CRC Press.

  • Lambert, B. (2018). A Student’s Guide to Bayesian Statistics. SAGE Publications Ltd.

  • Noël, Y. (2015). Psychologie Statistique. EDP Sciences.

  • Nicenboim, B., Schad, D., & Vasishth, S. (2021). An Introduction to Bayesian Data Analysis for Cognitive Science. Available online.

Les slides seront disponibles juste avant chaque séance sur le site de la formation : https://www.barelysignificant.com/IMSB2022/.

Objectifs

Objectifs généraux :

  • Comprendre les concepts fondamentaux de la statistique bayésienne.
  • Être capable de comprendre des articles décrivant des analyses bayésiennes.
  • Bonus : Réaliser que l’approche bayésienne est plus intuitive que l’approche fréquentiste.

Objectifs pratiques :

  • Être capable de réaliser une analyse complète (i.e., identification du modèle approprié, écriture du modèle mathématique, implémentation en R, interprétation et report des résultats) d’un jeu de données simple.

Planning

Cours n°01 : Introduction à l’inférence bayésienne
Cours n°02 : Modèle Beta-Binomial
Cours n°03 : Introduction à brms, modèle de régression linéaire
Cours n°04 : Modèle de régression linéaire (suite)
Cours n°05 : Markov Chain Monte Carlo
Cours n°06 : Modèle linéaire généralisé
Cours n°07 : Comparaison de modèles
Cours n°08 : Modèles multi-niveaux
Cours n°09 : Modèles multi-niveaux généralisés
Cours n°10 : Data Hackathon

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Axiomes des probabilités (Kolmogorov, 1933)

Une probabilité est une valeur numérique assignée à un événement \(A\), compris comme une possibilité appartenant à l’univers \(\Omega\) (l’ensemble de toutes les issues possibles).

Les probabilités se conforment aux axiomes suivants :

  • Non-negativité : \(\Pr(A) \geq 0\)
  • Normalisation : \(\Pr(\Omega) = 1\)
  • Additivité (pour des événements incompatibles) : \(\Pr(A_{1} \cup A_{2}) = \Pr(A_{1}) + \Pr(A_{2})\)

Le dernier axiome est également connu comme la règle de la somme, et peut se généraliser à des événements non mutuellement exclusifs : \(\Pr(A_{1} \cup A_{2}) = \Pr(A_{1}) + \Pr(A_{2}) - \Pr(A_{1} \cap A_{2})\).

Interprétations probabilistes

Quelle est la probabilité…

  • D’obtenir un chiffre pair sur un lancer de dé ?

  • Que j’apprenne quelque chose pendant cette formation ?

Est-ce qu’il s’agit, pour chaque exemple, de la même sorte de probabilité ?