Cours n°01 : Introduction à l’inférence bayésienne Cours n°02 : Modèle Beta-Binomial Cours n°03 : Introduction à brms, modèle de régression linéaire Cours n°04 : Modèle de régression linéaire (suite) Cours n°05 : Markov Chain Monte Carlo Cours n°06 : Modèle linéaire généralisé Cours n°07 : Comparaison de modèles Cours n°08 : Modèles multi-niveaux Cours n°09 : Modèles multi-niveaux généralisés Cours n°10 : Data Hackathon
\[\newcommand\given[1][]{\:#1\vert\:}\]
Rappels
Principes de l’analyse bayésienne :
On dispose d’un ensemble de données à analyser
On suppose un modèle génératif défini par un ensemble de paramètres
On dispose d’une connaissance a priori quant à la valeur de ces paramètres
The first idea is that Bayesian inference is reallocation of credibility across possibilities. The second foundational idea is that the possibilities, over which we allocate credibility, are parameter values in meaningful mathematical models (Kruschke, 2015).
Rappels
Inférence bayésienne : On infère (ou plutôt on déduit) la probabilité que le paramètre ait telle ou telle valeur sachant les données (et le prior) via le théorème de Bayes.
Objectif de l’analyse de données bayésienne : Faire évoluer une connaissance a priori sur les paramètres \(\color{steelblue}{p(\theta)}\) en une connaissance a posteriori \(\color{purple}{p(\theta \given y)}\), intégrant l’information contenue dans les nouvelles données via \(\color{orangered}{p(y \given \theta)}\).
Rappels
Les étapes de l’analyse de données bayésienne :
1. Définir le modèle - Identifier les paramètres du modèle génératif, définir une distribution a priori pour ces paramètres.
2. Mettre à jour le modèle - Calculer la distribution a posteriori des paramètres (ou une bonne approximation).
3. Interpréter la distribution postérieure - Comparaison de modèles, estimation des paramètres, vérification des prédictions du modèle.
Objectif du cours : Illustrer les différentes étapes de cette démarche à l’aide d’un modèle simple (un seul paramètre), le modèle Beta-Binomial.
Le modèle Beta-Binomial
Pourquoi ce modèle ?
Le modèle Beta-Binomial couvre de nombreux problèmes de la vie courante :
Réussite / échec à un test
Présence / absence d’effets secondaires lors du test d’un médicament
C’est un modèle simple
Un seul paramètre
Solution analytique
Loi de Bernoulli
S’applique à toutes les situations où le processus de génération des données ne peut résulter qu’en deux issues mutuellement exclusives (e.g., un lancer de pièce). À chaque essai, si on admet que \(\Pr(\text{face}) = \theta\), alors \(\Pr(\text{pile}) = 1 - \theta\).
Depuis Bernoulli, on sait calculer la probabilité du résultat d’un lancer de pièce, du moment que l’on connait le biais de la pièce \(\theta\). Admettons que \(Y = 0\) lorsqu’on obtient pile, et que \(Y = 1\) lorsqu’on obtient face. Alors \(Y\) est distribuée selon une loi de Bernoulli :
Si l’on dispose d’une suite de lancers \(\{Y_i\}\) indépendants et identiquement distribués (i.e., chaque lancer a une distribution de Bernoulli de probabilité \(\theta\)), l’ensemble de ces lancers peut être décrit par une distribution binomiale.
Par exemple, imaginons que l’on dispose de la séquence de cinq lancers suivants : Pile, Pile, Pile, Face, Face. On peut recoder cette séquence en \(\{0, 0, 0, 1, 1\}\).
Rappel : La probabilité de chaque \(1\) est \(\theta\) est la probabilité de chaque \(0\) est \(1 - \theta\).
Quelle est la probabilité d’obtenir 2 faces sur 5 lancers ?
Schéma de Bernoulli
Sachant que les essais sont indépendants les uns des autres, la probabilité d’obtenir cette séquence est de \((1 - \theta) \times (1 - \theta) \times (1 - \theta) \times \theta \times \theta\), c’est à dire : \(\theta^{2} (1 - \theta)^{3}\).
On peut généraliser ce résultat pour une séquence de \(n\) lancers et \(y\) “succès” :
\[\theta^{y} (1 - \theta)^{n - y}\]
On a jusqu’ici considéré seulement une seule séquence résultant en 2 succès pour 5 lancers, mais il existe de nombreuses séquences pouvant résulter en 2 succès pour 5 lancers (e.g., \(\{0, 0, 1, 0, 1\}\), \(\{0, 1, 1, 0, 0\}\))…
Coefficient binomial
Le coefficient binomial nous permet de calculer le nombre de combinaisons possibles résultant en \(y\) succès pour \(n\) lancers de la manière suivante (lu “\(y\) parmi \(n\)” ou “nombre de combinaisons de \(y\) parmi \(n\)”)1 :
\[
\left(\begin{array}{l} n \\ y \end{array}\right) = C_{y}^{n} = \frac{n !}{y !(n - y) !}
\]
Par exemple pour \(y = 1\) et \(n = 3\), on sait qu’il existe 3 combinaisons possibles : \(\{0, 0, 1\}, \{0, 1, 0\}, \{1, 0, 0\}\). On peut vérifier ça par le calcul, en appliquant la formule ci-dessus.
# computing the total number of possible configurations in Rchoose(n =3, k =1)
[1] 3
Loi binomiale
\[
p(y \given \theta) = \Pr(Y = y \given \theta) = \left(\begin{array}{l} n \\ y \end{array}\right) \theta^{y}(1 - \theta)^{n - y}
\]
La loi binomiale nous permet de calculer la probabilité d’obtenir \(y\) succès sur \(n\) essais, pour un \(\theta\) donné. Exemple de la distribution binomiale pour une pièce non biaisée (\(\theta = 0.5\)), indiquant la probabilité d’obtenir \(n\) faces sur 10 lancers (en R: dbinom(x = 0:10, size = 10, prob = 0.5)).
Générer des données à partir d’une distribution binomiale
library(tidyverse)set.seed(666) # for reproducibilitysample(x =c(0, 1), size =500, prob =c(0.4, 0.6), replace =TRUE) %>%# theta = 0.6data.frame() %>%mutate(x =seq_along(.), y =cummean(.) ) %>%ggplot(aes(x = x, y = y) ) +geom_line(lwd =1) +geom_hline(yintercept =0.6, lty =3) +labs(x ="Nombre de lancers", y ="Proportion de faces") +ylim(0, 1)
Définition du modèle (likelihood)
Fonction de vraisemblance (likelihood)
Nous considérons \(y\) comme étant le nombre de succès
Nous considérons le nombre d’observations \(n\) comme étant une constante
Nous considérons \(\theta\) comme étant le paramètre de notre modèle (i.e., la probabilité de succès)
La fonction de vraisemblance s’écrit de la manière suivante :
\[
\color{orangered}{\mathcal{L}(\theta \given y, n) = p(y \given \theta, n) = \left(\begin{array}{l} n \\ y \end{array}\right) \theta^{y}(1 - \theta)^{n - y} \propto \theta^{y}(1 - \theta)^{n - y}}
\]
Vraisemblance versus probabilité
On lance à nouveau une pièce de biais \(\theta\) (où \(\theta\) représente la probabilité d’obtenir Face). On lance cette pièce deux fois et on obtient une Face et un Pile.
On peut calculer la probabilité d’observer une Face sur deux lancers de pièce en fonction de différentes valeurs de \(\theta\) de la manière suivante :
Cette probabilité est définie pour un jeu de données fixe et une valeur de \(\theta\) variable. On peut représenter cette fonction visuellement.
Vraisemblance versus probabilité
# Représentation graphique de la fonction de vraisemblance de theta pour y = 1 et n = 2y <-1# nombre de facesn <-2# nombre d'essaisdata.frame(theta =seq(from =0, to =1, length.out =1e3) ) %>%mutate(likelihood =dbinom(x = y, size = n, prob = theta) ) %>%ggplot(aes(x = theta, y = likelihood) ) +geom_area(color ="orangered", fill ="orangered", alpha =0.5) +labs(x =expression(paste(theta, " - Pr(face)") ), y ="Vraisemblance (likelihood)")
Vraisemblance versus probabilité
Si on calcule l’aire sous la courbe de cette fonction, on obtient :
Quand on varie \(\theta\), la fonction de vraisemblance n’est pas une distribution de probabilité valide (i.e., son intégrale n’est pas égale à 1). On utilise le terme de vraisemblance, pour distinguer ce type de fonction des fonctions de densité de probabilité. On utilise la notation suivante pour mettre l’accent sur le fait que la fonction de vraisemblance est une fonction de \(\theta\), et que les données sont fixes : \(\mathcal{L}(\theta \given \text{data}) = p(\text{data} \given \theta)\).
Vraisemblance versus probabilité
Vraisemblance versus probabilité pour deux lancers de pièce
Nombre de Faces (y)
theta
0
1
2
Total
0
1.00
0.00
0.00
1
0.2
0.64
0.32
0.04
1
0.4
0.36
0.48
0.16
1
0.6
0.16
0.48
0.36
1
0.8
0.04
0.32
0.64
1
1
0.00
0.00
1.00
1
Total
2.20
1.60
2.20
Notons que la vraisemblance de \(\theta\) pour une donnée particulière est égale à la probabilité de cette donnée pour cette valeur de \(\theta\). Cependant, la distribution de ces vraisemblances (en colonne) n’est pas une distribution de probabilité. Dans l’analyse bayésienne, les données sont considérées comme fixes et la valeur de \(\theta\) est considérée comme une variable aléatoire.
Définition du modèle (prior)
Comment définir un prior dans le cas du lancer de pièce ?
Aspect sémantique\(~\rightarrow~\)le prior doit pouvoir rendre compte :
D’une absence d’information
D’une connaissance d’observations antérieures concernant la pièce étudiée
D’un niveau d’incertitude concernant ces observations antérieures
Aspect mathématique\(~\rightarrow~\)pour une solution entièrement analytique :
Les distributions a priori et a posteriori doivent avoir la même forme
La vraisemblance marginale doit pouvoir se calculer analytiquement
où \(a\) et \(b\) sont deux paramètres tels que \(a \geq 0\), \(b \geq 0\), et \(B(a, b)\) est une constante de normalisation.
Interprétation des paramètres du prior Beta
On peut exprimer l’absence de connaissance a priori par \(a = b = 1\) (distribution orange).
On peut exprimer un prior en faveur d’une absence de biais par \(a = b \geq 2\) (distribution verte).
On peut exprimer un biais en faveur de Face par \(a > b\) (distribution bleue).
On peut exprimer un biais en faveur de Pile par \(a < b\) (distribution violette).
Interprétation des paramètres du prior Beta
Le niveau de certitude augmente avec la somme \(\kappa = a + b\).
Aucune idée sur la provenance de la pièce : \(a = b = 1\) -> prior plat.
En attendant le début de l’expérience, on a lancé la pièce 10 fois et observé 5 “Face” : \(a = b = 5\) -> prior peu informatif.
La pièce provient de la banque de France : \(a = b = 50\) -> prior fort.
Interprétation des paramètres du prior Beta
Supposons que l’on dispose d’une estimation de la valeur la plus probable \(\omega\) du paramètre \(\theta\). On peut reparamétriser la distribution Beta en fonction du mode \(\omega\) et du niveau de certitude \(\kappa\) :
Si \(\omega = 0.65\) et \(\kappa = 25\) alors \(p(\theta) = \mathrm{Beta}(\theta \given 15.95, 9.05)\). Si \(\omega = 0.65\) et \(\kappa = 10\) alors \(p(\theta) = \mathrm{Beta}(\theta \given 6.2, 3.8)\).
Prior conjugué
Formellement, si \(\mathcal{F}\) est une classe de distributions d’échantillonnage \(p(y|\theta)\), et \(\mathcal{P}\) est une classe de distributions a priori pour \(\theta\), alors \(\mathcal{P}\) est conjuguée à \(\mathcal{F}\) si et seulement si :
\[
p(\theta \given y) \in \mathcal{P} \text{ for all } p(\cdot \given \theta) \in \mathcal{F} \text{ and } p(\cdot) \in \mathcal{P}
\]
(p.35, Gelman et al., 2013). En d’autres termes, un prior est appelé conjugué si, lorsqu’il est converti en une distribution a posteriori en étant multiplié par la fonction de vraisemblance, il conserve la même forme. Dans notre cas, le prior Beta est un prior conjugué pour la vraisemblance binomiale, car le posterior est également une distribution Beta.
Le résultat du produit d’un prior Beta et d’une fonction de vraisemblance Binomiale est proportionnel à une distribution Beta. On dit que la distribution Beta est un prior conjugué de la fonction de vraisemblance Binomiale.
Dérivation analytique de la distribution a posteriori
Soit un prior défini par : \(\ \color{steelblue}{p(\theta \given a, b) = \mathrm{Beta}(a, b) = \frac{\theta^{a - 1}(1 - \theta)^{b - 1}}{B(a, b)} \propto \theta^{a - 1}(1 - \theta)^{b - 1}}\)
Soit une fonction de vraisemblance associée à \(y\) “Face” pour \(n\) lancers : \(\ \color{orangered}{p(y \given n, \theta) = \mathrm{Bin}(y \given n, \theta) = \left(\begin{array}{l} n \\ y \end{array}\right) \theta^{y}(1 - \theta)^{n - y} \propto \theta^{y}(1 - \theta)^{n - y}}\)
Alors (en omettant les constantes de normalisation) :
\[
\begin{align}
\color{purple}{p(\theta \given y, n)} &\propto \color{orangered}{p(y \given n, \theta)} \ \color{steelblue}{p(\theta)} &&\mbox{Théorème de Bayes} \\
&\propto \color{orangered}{\mathrm{Bin}(y \given n, \theta)} \ \color{steelblue}{\mathrm{Beta}(\theta \given a, b)} \\
&\propto \color{orangered}{\theta^{y}(1 - \theta)^{n - y}} \ \color{steelblue}{\theta^{a - 1}(1 - \theta)^{b - 1}} &&\mbox{Application des formules précédentes} \\
&\propto \color{purple}{\theta}^{\color{orangered}{y} + \color{steelblue}{a - 1}}\color{purple}{(1 - \theta)}^{\color{orangered}{n - y} + \color{steelblue}{b - 1}} &&\mbox{En regroupant les puissances des termes identiques} \\
\end{align}
\]
Ici, on a ignoré les constantes qui ne dépendent pas de \(\theta\) (i.e., le nombre de combinaisons dans la fonction de vraisemblance binomiale et la fonction Beta \(B(a, b)\) dans le prior Beta).1 En les prenant en compte, on obtient en effet une distribution a posteriori Beta de la forme suivante :
\[\color{purple}{p(\theta \given y, n) = \mathrm{Beta}(y + a, n - y + b)}\]
Un exemple pour digérer
On observe \(y = 7\) réponses correctes sur \(n = 10\) questions. On choisit un prior \(\mathrm{Beta}(1, 1)\), c’est à dire un prior uniforme sur \([0, 1]\). Ce prior équivaut à une connaissance a priori de 0 succès et 0 échecs (i.e., prior plat).
La distribution postérieure est donnée par :
\[
\begin{align}
\color{purple}{p(\theta \given y, n)} &\propto \color{orangered}{p(y \given n, \theta)} \ \color{steelblue}{p(\theta)} \\
&\propto \color{orangered}{\mathrm{Bin}(7 \given 10, \theta)} \ \color{steelblue}{\mathrm{Beta}(\theta \given 1, 1)} \\
&= \color{purple}{\mathrm{Beta}(y + a, n - y + b)} \\
&= \color{purple}{\mathrm{Beta}(8, 4)}
\end{align}
\]
La moyenne de la distribution postérieure est donnée par :
\[
\color{purple}{\underbrace{\frac{y + a}{n + a + b}}_{posterior}} = \color{orangered}{\underbrace{\frac{y}{n}}_{data}} \underbrace{\frac{n}{n + a + b}}_{weight} + \color{steelblue}{\underbrace{\frac{a}{a + b}}_{prior}} \underbrace{\frac{a + b}{n + a + b}}_{weight}
\]
Un exemple pour digérer
Influence du prior sur la distribution postérieure
Cas \(n < a + b, (n = 10, a = 4, b = 16)\).
Influence du prior sur la distribution postérieure
