Cours n°01 : Introduction à l’inférence bayésienne Cours n°02 : Modèle Beta-Binomial Cours n°03 : Introduction à brms, modèle de régression linéaire Cours n°04 : Modèle de régression linéaire (suite) Cours n°05 : Markov Chain Monte Carlo Cours n°06 : Modèle linéaire généralisé Cours n°07 : Comparaison de modèles Cours n°08 : Modèles multi-niveaux Cours n°09 : Modèles multi-niveaux généralisés Cours n°10 : Data Hackathon
\[\newcommand\given[1][]{\:#1\vert\:}\]
Rappels de syntaxe
Le paquet brms utilise la même syntaxe que les fonctions de base R (comme lm) ou que le paquet lme4.
Reaction ~ Days + (1+ Days | Subject)
La partie gauche représente notre variable dépendante (ou “outcome”, i.e., ce qu’on essaye de prédire). Le paquet brms permet également de fitter des modèles multivariés (plusieurs outcomes) en les combinant avec c():
c(Reaction, Memory) ~ Days + (1+ Days | Subject)
La partie droite permet de définir les prédicteurs. L’intercept est généralement implicite, de sorte que les deux écritures ci-dessous sont équivalentes.
c(Reaction, Memory) ~ Days + (1+ Days | Subject)c(Reaction, Memory) ~1+ Days + (1+ Days | Subject)
Rappels de syntaxe
Si l’on veut fitter un modèle sans intercept (why not), il faut le spécifier explicitement comme ci-dessous.
c(Reaction, Memory) ~0+ Days + (1+ Days | Subject)
La première partie de la partie droite de la formule représente les effets constants (effets fixes), tandis que la seconde partie (entre parenthèses) représente les effets variables (effets aléatoires).
c(Reaction, Memory) ~ Days + (1| Subject)c(Reaction, Memory) ~ Days + (Days | Subject)
Le premier modèle ci-dessus contient seulement un intercept variable, qui varie par Subject. Le deuxième modèle contient également un intercept variable, mais aussi une pente variable pour l’effet de Days.
Rappels de syntaxe
Lorsqu’on inclut plusieurs effets variables (e.g., un intercept et une pente variables), brms postule qu’on souhaite aussi estimer la corrélation entre ces deux effets. Dans le cas contraire, on peut supprimer cette corrélation (i.e., la fixer à 0) en utilisant ||.
c(Reaction, Memory) ~ Days + (1+ Days || Subject)
Les modèles précédents postulaient une fonction de vraisemblance Gaussienne. Ce postulat peut être changé facilement en spécifiant la fonction de vraisemblance souhaitée via l’argument family.
brm(Reaction ~1+ Days + (1+ Days | Subject), family =lognormal() )
Mise en pratique - absentéisme expérimental
Travailler avec des sujets humains implique un minimum de coopération réciproque. Mais ce n’est pas toujours le cas. Une partie non-négligeable des étudiants qui s’inscrivent pour passer des expériences de psychologie ne se présentent pas le jour prévu… On a voulu estimer la probabilité de présence d’un étudiant inscrit en fonction de l’envoi (ou non) d’un mail de rappel (cet exemple est présenté en détails dans deux blogposts, accessibles ici, et ici).
library(tidyverse)library(imsb)# import des donnéesdata <-open_data(absence_multilevel) %>%mutate(reminder =ifelse(test = reminder ==1, yes =0.5, no =-0.5) )# on affiche 12 lignes "au hasard" dans ces donnéesdata %>%sample_frac() %>%head(12)
Afin de pouvoir les interpréter il faut appliquer la transformation logit-inverse. Par exemple, la probabilité de présence en moyenne (i.e., quel que soit le chercheur et pour toutes conditions confondues) est égale à \(p = \exp(\alpha) / (1 + \exp(\alpha) )\).
a <-fixef(mod1)[1] # on récupère la valeur de l'interceptexp(a) / (1+exp(a) ) # on "convertit" l'intercept en probabilité (équivalent à plogis(a))
[1] 0.6908137
Mise en pratique - absentéisme expérimental
On s’est ensuite interrogé sur l’effet du mail de rappel. Ici encore, on ne peut pas interpréter la pente directement… mais on sait que \(\text{exp}(\beta)\) nous donne un odds ratio (i.e., un rapport de cotes).
fixef(mod1)[2, c(1, 3, 4)] %>%exp()
Estimate Q2.5 Q97.5
18.098203 8.073937 33.275828
Envoyer un mail de rappel multiplie par environ 18 la cote (i.e., le rapport \(\frac{\Pr(\text{présent})}{\Pr(\text{absent})}\)).
Représenter les prédictions du modèle
Une manière de représenter les prédictions du modèle est de plotter directement quelques échantillons issus de la distribution a posteriori. On appelle ce genre de plot un “spaghetti plot”.
Représenter les prédictions du modèle
data %>%group_by(researcher, total) %>%data_grid(reminder =seq_range(reminder, n =1e2) ) %>%add_fitted_samples(mod1, newdata = ., n =100, scale ="linear") %>%mutate(estimate =plogis(estimate) ) %>%ggplot(aes(x = reminder, y = estimate, group = .iteration) ) +geom_hline(yintercept =0.5, lty =2) +geom_line(aes(y = estimate, group = .iteration), size =0.5, alpha =0.1) +facet_wrap(~researcher, nrow =2) +labs(x ="Mail de rappel", y ="Pr(présent)")
Test d’hypothèse - 1
Plusieurs manières de tester des hypothèses avec brms. La fonction hypothesis() calcule un evidence ratio (équivalent au Bayes factor). Lorsque l’hypothèse testée est une hypothèse ponctuelle (on teste une valeur précise du paramètre, e.g., \(\theta = 0\)), cet evidence ratio est approximé via la méthode de Savage-Dickey. Cette méthode consiste simplement à comparer la densité du point testé accordée par le prior à la densité accordée par la distribution a posteriori.
Hypothesis Tests for class b:
Hypothesis Estimate Est.Error CI.Lower CI.Upper Evid.Ratio Post.Prob Star
1 (reminder) = 0 2.9 0.35 2.09 3.5 0 0 *
---
'CI': 90%-CI for one-sided and 95%-CI for two-sided hypotheses.
'*': For one-sided hypotheses, the posterior probability exceeds 95%;
for two-sided hypotheses, the value tested against lies outside the 95%-CI.
Posterior probabilities of point hypotheses assume equal prior probabilities.
Une deuxième solution consiste à étendre l’approche par comparaison de modèles. Tester une hypothèse revient à comparer deux modèles : un modèle avec l’effet d’intérêt et un modèle sans l’effet d’intérêt.
prior2 <-c(prior(normal(0, 10), class = Intercept, coef =""),prior(cauchy(0, 10), class = sd),prior(lkj(2), class = cor) )mod2 <-brm(presence |trials(total) ~1+ reminder + (1+ reminder | researcher), family =binomial(link ="logit"),prior = prior1,data = data,# this line is important for bridgesamplingsave_all_pars =TRUE,warmup =2000, iter =1e4,cores = parallel::detectCores(), backend ="cmdstanr",control =list(adapt_delta =0.95) )mod3 <-brm(presence |trials(total) ~1+ (1+ reminder | researcher), family =binomial(link ="logit"),prior = prior2,data = data,save_all_pars =TRUE,warmup =2000, iter =1e4,cores = parallel::detectCores(), backend ="cmdstanr",control =list(adapt_delta =0.95) )
Test d’hypothèse - 2
On peut ensuite comparer la vraisemblance marginale de ces modèles, c’est à dire calculer un Bayes factor. Le paquet brms propose la méthode bayes_factor() qui repose sur une approximation de la vraisemblance marginale via le paquet bridgesampling(Gronau et al., 2017).
bayes_factor(mod2, mod3)
Estimated Bayes factor in favor of mod2 over mod3: 142403.46738
Comparaison de modèles
On peut également s’intéresser aux capacités de prédiction de ces deux modèles et les comparer en utilisant des critères d’information. La fonction waic() calcule le Widely Applicable Information Criterion (cf. Cours n°07).
waic(mod2, mod3, compare =FALSE)
Output of model 'mod2':
Computed from 32000 by 20 log-likelihood matrix
Estimate SE
elpd_waic -59.8 2.1
p_waic 10.7 1.3
waic 119.7 4.2
15 (75.0%) p_waic estimates greater than 0.4. We recommend trying loo instead.
Output of model 'mod3':
Computed from 32000 by 20 log-likelihood matrix
Estimate SE
elpd_waic -59.0 1.6
p_waic 10.1 0.5
waic 118.0 3.3
19 (95.0%) p_waic estimates greater than 0.4. We recommend trying loo instead.
Posterior predictive checking
Une autre manière d’examiner les capacités de prédiction d’un modèle est le posterior predictive checking (PPC). L’idée est simple : il s’agit de comparer les données observées à des données simulées à partir de la distribution a posteriori. Une fois qu’on a une distribution a posteriori sur \(\theta\), on peut simuler des données à partir de la posterior predictive distribution :
Si le modèle est un bon modèle, il devrait pouvoir générer des données qui ressemblent aux données qu’on a observées (e.g., Gabry et al., 2019).
Posterior predictive checking
On représente ci-dessous la distribution de nos données.
data %>%ggplot(aes(x = presence / total) ) +geom_density(fill ="grey20")
Posterior predictive checking
Cette procédure est implémentée dans brms via la méthode pp_check() qui permet de réaliser de nombreux checks. Par exemple, ci-dessous on compare les prédictions a posteriori (n = 100) aux données observées.
pp_check(object = mod2, nsamples =1e2)
Posterior predictive checking
pp_check(object = mod2, nsamples =1e3, type ="stat_2d")
Ajuster le comportement de Stan
En fittant des modèles un peu compliqués, il se peut que vous obteniez des messages d’avertissement du genre “There were x divergent transitions after warmup”. Dans cette situation, on peut ajuster le comportement de Stan directement dans un appel de la fonction brm() en utilisant l’argument control.
mod2 <-brm(formula = presence |trials(total) ~1+ reminder + (1+ reminder | researcher), family =binomial(link ="logit"),prior = prior2,data = data,warmup =2000, iter =1e4,cores = parallel::detectCores(), # using all available corescontrol =list(adapt_delta =0.95) # adjusting the delta step size )
On peut par exemple augmenter le pas de l’algorithme, via adapt_delta (par défaut fixé à 0.8), ce qui ralentira probablement l’échantillonnage mais améliorera la validité des échantillons obtenus. Plus généralement, soyez attentifs aux messages d’erreur et d’avertissement générés par brms.
Notre article tutoriel d’introduction aux modèles multi-niveaux avec brms(Nalborczyk et al., 2019).
Modèles de méta-analyse
Méta-analyse
Une méta-analyse est simplement une analyse d’analyses. Il s’agit d’un modèle linéaire (presque) comme les autres, sauf que nos observations sont (généralement) des données déjà résumées par une taille d’effet (ou pas). On peut traiter ces tailles d’effets comme des observations, avec une variance connue.
On distingue deux classes de modèles :
Méta-analyse à effets fixes (constant effects) : on considère que la taille d’effet estimée par toutes les études est la même.
Méta-analyse à effets aléatoires (varying effects) : on modélise la variabilité et les sources de dépendance dans les données.
On ne considère que le deuxième type de modèle, en notant (cf. Cours n°08) qu’un modèle à effet fixe peut être considéré comme un modèle à effet aléatoire dont on a fixé \(\tau = 0\).
Méta-analyse
Le jeu de données ci-dessous recense les résultats de 32 expériences visant à évaluer l’effet des contraintes biomécaniques sur l’évaluation des distances (Molto et al., 2020).
Où \(\sigma_{j}^2 = v_{j}\) est la variance de l’effet dans l’étude \(j\) et \(\alpha\) la taille d’effet dans la population. L’index \(\alpha_{\text{study}[j]}\) indique la taille d’effet moyenne dans l’étude \(j\). En plus de la variance dans l’échantillon \(\sigma_{j}^2\) (qui est connue), on estime la variabilité des effets entre les études \(\text{Var}(\alpha_{\text{study}}) = \tau_{s}^{2}\) (niveau 2).
Méta-analyse
Le modèle précédent peut être étendu à plus de deux niveaux pour prendre en compte les structures de dépendance dans le jeu de données. En effet, chaque étude (chaque papier publié) contenait plusieurs expériences. On pourrait s’attendre à ce que les expériences d’une même étude se ressemblent plus entre elles…
Méta-analyse
On peut écrire ce modèle sur trois niveaux, comme ci-dessous.
On estime maintenant, en plus de la variabilité \(\sigma_{ij}\), deux autres sources de variation : la variation des effets entre différentes expériences issues d’une même étude \(\text{Var}(\alpha_{\text{experiment}}) = \tau_{e}^{2}\) (niveau 2) et la variation entre différentes études \(\text{Var}(\alpha_{\text{study}}) = \tau_{s}^{2}\) (niveau 3).
Family: gaussian
Links: mu = identity; sigma = identity
Formula: yi | se(sqrt(vi)) ~ 0 + intercept + (1 | study) + (1 | experiment)
Data: d (Number of observations: 32)
Draws: 4 chains, each with iter = 10000; warmup = 2000; thin = 1;
total post-warmup draws = 32000
Group-Level Effects:
~experiment (Number of levels: 4)
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sd(Intercept) 0.35 0.26 0.06 1.01 1.00 9388 9594
~study (Number of levels: 19)
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sd(Intercept) 0.22 0.10 0.04 0.43 1.00 9846 9619
Population-Level Effects:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
intercept 0.42 0.22 -0.02 0.88 1.00 11052 13321
Family Specific Parameters:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sigma 0.00 0.00 0.00 0.00 NA NA NA
Draws were sampled using sample(hmc). For each parameter, Bulk_ESS
and Tail_ESS are effective sample size measures, and Rhat is the potential
scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat = 1).
La statistique bayésienne est une approche générale de l’estimation de paramètres. Cette approche utilise la théorie des probabilités pour quantifier l’incertitude vis à vis de la valeur des paramètres de modèles statistiques.
Ces modèles sont composés de différents blocs (e.g., fonction de vraisemblance, priors, modèle linéaire ou non-linéaire) qui sont modifiables à souhait. Ce qu’on appelle classiquement “conditions d’application” sont simplement les conséquences des choix de modélisation réalisés par l’utilisateur. Autrement dit, c’est l’utilisateur qui choisit (et ne subit pas) les conditions d’application.
Nous avons vu que le modèle de régression linéaire est un modèle très flexible qui permet de décrire, via la modification de la fonction de vraisemblance et via l’introduction de fonctions de lien, des relations complexes (e.g., non-linéaires) entre variable prédite et variables prédictrices. Ces modèles peuvent gagner en précision par la prise en compte de la variabilité et des structures présentes dans les données (cf. modèles multi-niveaux).
Conclusions
Le paquet brms est un véritable couteau suisse de l’analyse statistique bayésienne en R. Il permet de fitter presque n’importe quel type de modèle de régression. Cela comprend tous les modèles que nous avons vu en cours, mais également bien d’autres. Entre autres, des modèles multivariés (i.e., avec plusieurs outcomes), des modèles “distributionnels” (e.g., pour prédire des différence de variance), des generalised additive models, des procesus Gaussiens (Gaussian processes), des modèles issus de la théorie de détection du signal, des mixture models, des modèles de diffusion, des modèles non-linéaires…
N’hésitez pas à me contacter pour plus d’informations sur ces modèles ou si vous avez des questions par rapport à vos propres données. Vous pouvez aussi contacter le créateur du paquet brms, très actif en ligne (voir son site). Voir aussi le forum Stan.
Ce jeu de données recense des données concernant 2000 élèves dans 100 écoles différentes. L’outcome principal est la popularité de l’élève, évaluée sur une échelle de 1 à 10, et estimée en utilisant une procédure sociométrique (i.e., on a demandé aux élèves de se noter mutuellement). Ces élèves étaient également notés par leurs professeurs (colonne teachpop), sur une échelle de 1 à 7. On dispose comme prédicteurs du genre de l’élève (boy = 0, girl = 1) et de l’expérience du professeur (texp, en années).
d <-open_data(popular)head(d, 10)
pupil school popular sex texp teachpop
1 1 1 8 girl 24 7
2 2 1 7 boy 24 7
3 3 1 7 girl 24 6
4 4 1 9 girl 24 6
5 5 1 8 girl 24 7
6 6 1 7 boy 24 7
7 7 1 7 boy 24 7
8 8 1 7 boy 24 7
9 9 1 7 boy 24 7
10 10 1 8 boy 24 6
Travaux pratiques
À vous d’explorer ce jeu de données, de fitter quelques modèles (avec brms) pour essayer de comprendre quels sont les facteurs qui expliquent (permettent de prédire) la popularité d’un élève…
d %>%ggplot(aes(x = texp, y = popular) ) +geom_point(alpha =0.2) +geom_smooth(method ="lm", colour ="black") +facet_wrap(~sex)
Proposition de solution
d <- d %>%mutate(# using a sum contrast for gendersex =ifelse(sex =="boy", -0.5, 0.5),# centering and standardising teacher experiencetexp =scale(texp) %>% as.numeric )prior5 <-c(prior(normal(5, 2.5), class = Intercept),prior(cauchy(0, 10), class = sd),prior(cauchy(0, 10), class = sigma) )mod5 <-brm(formula = popular ~1+ (1| school),data = d,prior = prior5,save_all_pars =TRUE,warmup =2000, iter =1e4,cores = parallel::detectCores() )
Proposition de solution
prior6 <-c(prior(normal(0, 1), class = Intercept),prior(normal(0, 1), class = b),prior(cauchy(0, 1), class = sd),prior(cauchy(0, 10), class = sigma) )mod6 <-brm(formula = popular ~1+ texp + (1| school),data = d,prior = prior6,save_all_pars =TRUE,warmup =2000, iter =1e4,cores = parallel::detectCores() )
Proposition de solution
prior7 <-c(prior(normal(0, 1), class = Intercept),prior(normal(0, 1), class = b),prior(cauchy(0, 1), class = sd),prior(cauchy(0, 10), class = sigma),prior(lkj(2), class = cor) )mod7 <-brm(formula = popular ~1+ sex + texp + (1+ sex | school),data = d,prior = prior7,save_all_pars =TRUE,warmup =2000, iter =1e4,cores = parallel::detectCores() )
Proposition de solution
mod8 <-brm(formula = popular ~1+ sex + texp + sex:texp + (1+ sex | school),data = d,prior = prior7,save_all_pars =TRUE,warmup =2000, iter =1e4,cores = parallel::detectCores() )
# calcul du WAIC et ajout du WAIC à chaque modèlemod5 <-add_criterion(mod5, "waic")mod6 <-add_criterion(mod6, "waic")mod7 <-add_criterion(mod7, "waic")mod8 <-add_criterion(mod8, "waic")
Proposition de solution
# comparaison des WAIC de chaque modèlemodel_comparison_table <-loo_compare(mod5, mod6, mod7, mod8, criterion ="waic") %>%data.frame() %>%rownames_to_column(var ="model")weights <-data.frame(weight =model_weights(mod5, mod6, mod7, mod8, weights ="waic") ) %>%round(digits =3) %>%rownames_to_column(var ="model")left_join(model_comparison_table, weights, by ="model")
Les prédictions du modèle ne coïncident pas exactement avec les données car ces dernières sont discrètes Les élèves étaient notés sur une échelle discrète allant de 1 à 10 (un élève ne pouvait pas avoir une note de 3.456). Ce type de données peut-être approximée par une distribution normale (comme nous l’avons fait) mais ce choix n’est pas optimal en termes de prédiction…
pp_check(object = mod8, nsamples =1e2)
Proposition de solution
On pourrait choisir un modèle qui se rapproche du processus de génération des données. C’est le cas du modèle de régression logistique ordinale (ordered categorical model). Ce modèle est une sorte de généralisation à plus de 2 catégories du modèle de régression logistique vu au Cours n°06 (voir ce blogpost pour plus de détails, ou le chapitre 11 de Statistical Rethinking), sauf que les catégories sont ordonnées.
Où la distribution \(\mathrm{Categorical}\) est une distribution discrète qui prend un vecteur de probabilités \(\mathbf{p} = \{p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}, p_{5}, p_{6}, p_{7}, p_{8}, p_{9}\}\) qui correspondent aux probabilités cumulées de chaque réponse (entre 1 et 10, 10 ayant une probabilité cumulée de 1).
Proposition de solution
On définit une série de \(N - 1\) intercepts \(\mathbf{p} = \{p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}, p_{5}, p_{6}, p_{7}, p_{8}, p_{9}\}\) sur le logarithme de la cote cumulée (log-cumulative-odds).
La vraisemblance de l’observation \(k\) (e.g., pop = 3) est donnée par soustraction des proportions cumulées. Cette vraisemblance est représentée par les barres verticales sur le graphique ci-dessous.
NB : Ce modèle peut prendre plusieurs heures selon votre système…
mod9 <-brm( popular ~1+ sex + texp + sex:texp + (1| school),data = d,prior = prior6,warmup =2000, iter =5000,chains =4, cores = parallel::detectCores(),file ="models/mod9", backend ="cmdstanr" )
prior10 <-c( brms::prior(normal(0, 10), class = Intercept), brms::prior(normal(0, 10), class = b), brms::prior(cauchy(0, 10), class = sd) )mod10 <-brm( popular ~1+ sex + texp + sex:texp + (1| school),data = d,family =cumulative(link ="logit"),prior = prior10,chains =4, cores = parallel::detectCores(),control =list(adapt_delta =0.99, max_treedepth =15),file ="models/mod10", backend ="cmdstanr" )
Proposition de solution
waic(mod9, mod10, compare =FALSE)
Output of model 'mod9':
Computed from 12000 by 2000 log-likelihood matrix
Estimate SE
elpd_waic -2086.1 31.3
p_waic 96.3 3.0
waic 4172.2 62.6
7 (0.4%) p_waic estimates greater than 0.4. We recommend trying loo instead.
Output of model 'mod10':
Computed from 4000 by 2000 log-likelihood matrix
Estimate SE
elpd_waic -2075.0 32.4
p_waic 106.7 2.6
waic 4150.1 64.9
3 (0.1%) p_waic estimates greater than 0.4. We recommend trying loo instead.
Proposition de solution
pp_check(mod10, nsamples =1e2, type ="bars", prob =0.95, freq =FALSE) +scale_x_continuous(breaks =1:9) +labs(x ="Popularité", y ="Proportion")
Références
Bürkner, P.-C. (2017). brms : An R Package for Bayesian Multilevel Models Using Stan. Journal of Statistical Software, 80(1). https://doi.org/10.18637/jss.v080.i01
Bürkner, P.-C., & Vuorre, M. (2019). Ordinal Regression Models in Psychology: A Tutorial: Advances in Methods and Practices in Psychological Science. https://doi.org/10.1177/2515245918823199
Gabry, J., Simpson, D., Vehtari, A., Betancourt, M., & Gelman, A. (2019). Visualization in Bayesian workflow. Journal of the Royal Statistical Society: Series A (Statistics in Society), 182(2), 389–402. https://doi.org/10.1111/rssa.12378
Gelman, A., Vehtari, A., Simpson, D., Margossian, C. C., Carpenter, B., Yao, Y., Kennedy, L., Gabry, J., Bürkner, P.-C., & Modrák, M. (2020). Bayesian workflow. arXiv:2011.01808 [Stat]. http://arxiv.org/abs/2011.01808
Gronau, Q. F., Singmann, H., & Wagenmakers, E.-J. (2017). Bridgesampling: An r package for estimating normalizing constants. https://doi.org/10.48550/ARXIV.1710.08162
Molto, L., Nalborczyk, L., Palluel-Germain, R., & Morgado, N. (2020). Action Effects on Visual Perception of Distances: A Multilevel Bayesian Meta-Analysis: Psychological Science. https://doi.org/10.1177/0956797619900336
Nalborczyk, L., Batailler, C., Lœvenbruck, H., Vilain, A., & Bürkner, P.-C. (2019). An Introduction to Bayesian Multilevel Models Using brms: A Case Study of Gender Effects on Vowel Variability in Standard Indonesian. Journal of Speech, Language, and Hearing Research, 62(5), 1225–1242. https://doi.org/10.1044/2018_jslhr-s-18-0006
