Comprendre les concepts fondamentaux de la statistique bayésienne.
Être capable de comprendre des articles décrivant des analyses bayésiennes.
Bonus : Réaliser que l’approche bayésienne est plus intuitive que l’approche fréquentiste.
Objectifs pratiques :
Être capable de réaliser une analyse complète (i.e., identification du modèle approprié, écriture du modèle mathématique, implémentation en R, interprétation et report des résultats) d’un jeu de données simple.
Planning
Cours n°01 : Introduction à l’inférence bayésienne Cours n°02 : Modèle Beta-Binomial Cours n°03 : Introduction à brms, modèle de régression linéaire Cours n°04 : Modèle de régression linéaire (suite) Cours n°05 : Markov Chain Monte Carlo Cours n°06 : Modèle linéaire généralisé Cours n°07 : Comparaison de modèles Cours n°08 : Modèles multi-niveaux (généralisés) Cours n°09 : Examen final
\[\newcommand\given[1][]{\:#1\vert\:}\]
Interprétations probabilistes
Quelle est la probabilité…
D’obtenir un chiffre pair sur un lancer de dé ?
Que j’apprenne quelque chose pendant cette formation ?
Est-ce qu’il s’agit, pour chaque exemple, de la même sorte de probabilité ?
Interprétation classique (ou théorique)
\[
\Pr(\text{pair}) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\]
Problème : cette définition est uniquement applicable aux situations dans lesquelles il n’y a qu’un nombre fini de résultats possibles équiprobables…
Par exemple, quelle est la probabilité qu’il pleuve demain ?
Où \(n_{x}\) est le nombre d’occurrences de l’évènement \(x\) et \(n_{t}\) le nombre total d’essais. L’interprétation fréquentiste postule que, à long-terme (i.e., quand le nombre d’essais s’approche de l’infini), la fréquence relative va converger exactement vers ce qu’on appelle “probabilité”.
Conséquence : le concept de probabilité s’applique uniquement à des ensembles d’évènements, et non à des évènements individuels.
Interprétation fréquentiste (ou empirique)
library(tidyverse)sample(x =c(0, 1), size =500, prob =c(0.5, 0.5), replace =TRUE) %>%data.frame() %>%mutate(x =seq_along(.), y =cummean(.) ) %>%ggplot(aes(x = x, y = y) ) +geom_line(lwd =1) +geom_hline(yintercept =0.5, lty =3) +labs(x ="Nombre de lancers", y ="Proportion de faces") +ylim(0, 1)
Limites de l’interprétation fréquentiste…
Quelle classe de référence ? Quelle est la probabilité que je vive jusqu’à 80 ans ? En tant qu’homme ? En tant que Français ?
Quid des évènements qui ne peuvent pas se répéter ? Quelle est la probabilité que j’apprenne quelque chose pendant cette formation ?
À partir de combien de lancers (d’une pièce par exemple) a-t-on une bonne approximation de la probabilité ? Une classe finie d’évènements de taille \(n\) ne peut produire que des fréquences relatives de précision \(1/n\)…
Interprétation propensionniste
Les propriétés fréquentistes (i.e., à long terme) des objets (e.g., une pièce) seraient provoquées par des propriétés physiques intrinsèques aux objets. Par exemple, une pièce biaisée va engendrer une fréquence relative (et donc une probabilité) biaisée en raison de ses propriétés physiques. Pour les propensionnistes, les probabilités représentent ces caractéristiques intrinsèques, ces propensions à générer certaines fréquences relatives, et non les fréquences relatives en elles-mêmes.
Conséquence : ces propriétés sont les propriétés d’évènements individuels… et non de séquences ! L’interprétation propensionniste nous permet donc de parler de la probabilité d’évènements uniques.
Interprétation logique
Il y a 10 étudiants dans cette salle
9 portent un t-shirt vert
1 porte un t-shirt rouge
Une personne est tirée au sort…
Conclusion n°1 : l’étudiant tiré au sort porte un t-shirt ✔
Conclusion n°2 : l’étudiant tiré au sort porte un t-shirt vert ✗
Conclusion n°3 : l’étudiant tiré au sort porte un t-shirt rouge ✗
Interprétation logique
L’interprétation logique du concept de probabilité essaye de généraliser la logique (vrai / faux) au monde probabiliste. La probabilité représente donc le degré de support logique qu’une conclusion peut avoir, relativement à un ensemble de prémisses (Carnap, 1971; Keynes, 1921).
Conséquence : toute probabilité est conditionnelle.
Interprétation bayésienne
La probabilité est une mesure du degré d’incertitude. Un évènement certain aura donc une probabilité de 1 et un évènement impossible une probabilité de 0.
So to assign equal probabilities to two events is not in any way an assertion that they must occur equally often in any random experiment […], it is only a formal way of saying I don’t know (Jaynes, 1986).
Pour parler de probabilités, dans ce cadre, nous n’avons plus besoin de nous référer à la limite d’occurrence d’un évènement (fréquence).
Toute probabilité est conditionnelle à de l’information disponible (e.g., prémisses ou données). La probabilité est utilisée comme moyen de quantifier l’incertitude.
Interprétation logique, bayésienne.
Probabilité physique
Les probabilités dépendent d’un état du monde, de caractéristiques physiques, elles sont indépendantes de l’information disponible (ou de l’incertitude).
Une probabilité est une valeur numérique assignée à un évènement \(A\), compris comme une possibilité appartenant à l’univers \(\Omega\) (l’ensemble de toutes les issues possibles).
Les probabilités se conforment aux axiomes suivants :
Le dernier axiome est également connu comme la règle de la somme, et peut se généraliser à des évènements non mutuellement exclusifs : \(\Pr(A_{1} \cup A_{2}) = \Pr(A_{1}) + \Pr(A_{2}) - \Pr(A_{1} \cap A_{2})\).
Règle de la somme et règle du produit
Règle de la somme (pour deux évènements mutuellement exclusifs) : \(\Pr(A_{1} \cup A_{2}) = \Pr(A_{1}) + \Pr(A_{2}) - \Pr(A_{1} \cap A_{2})\).
Pensez à la probabilité d’obtenir un nombre impair lors d’un lancer de dé. Nous pouvons l’écrire sous la forme \(\Pr(x = 1) + \Pr(x = 3) + \Pr(x = 5) = \frac{3}{6}\).
Règle du produit (pour deux évènements indépendants) : \(\Pr(A_{1} \cap A_{2}) = \Pr(A_{1}) \times \Pr(A_{2})\).
Pensez à la probabilité d’obtenir deux 6 consécutifs lors de deux lancers de dé. On peut l’écrire sous la forme \(\Pr(x = 6, y = 6) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\).
Si vous comprenez et retenez ces deux règles, vous maîtrisez déjà la statistique bayésienne !
Probabilité conjointe
Lors du lancer de 2 dés, la probabilité que le dé \(x\) soit égal à 2 et que le dé \(y\) soit égal à 3 est : \(\Pr(x = 2, y = 3) = \Pr(y = 3, x = 2) = \frac{1}{36}\).
De la règle de la somme à la marginalisation
Avec plusieurs variables, la règle de la somme nous indique comment en ignorer une. Par exemple, la probabilité que le premier dé affiche 1 est : \(\Pr(x = 1) = \Pr(x = 1, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}) = \frac{6}{36}\). On parle alors de probabilité marginale, car on peut écrire la probabilité cumulative dans la marge d’un tableau de probabilités conjointes.
De la règle de la somme à la marginalisation
La probabilité que deux dés totalisent 4 est : \(\Pr(x + y = 4) = \frac{3}{36}\).
Probabilité conditionnelle
Quelle est la probabilité que le dé \(x\) ait une certaine valeur sachant que le total est égal à 4 ? Par exemple, la probabilité que le dé \(x\) soit égal à 2 (sachant que le total est 4) : \(\Pr(x = 2 \given x + y = 4) = \frac{1}{3}\). Cette probabilité conditionnelle peut être réécrite : \(\Pr(x = 2 \given x + y = 4) = \frac{\Pr(x = 2, x + y = 4) }{\Pr(x + y = 4) } = \frac{1/36}{3/36} = \frac{1}{3}\).
Confusion of the inverse
Notez que \(\Pr(x \given y)\) n’est pas nécessairement égal – et n’est généralement pas égal – à \(\Pr(y \given x)\). Par exemple : la probabilité de mourir en sachant que vous avez été attaqué par un requin n’est pas la même que la probabilité d’avoir été attaqué par un requin en sachant que vous êtes mort (cf. confusion of the inverse). De la même manière, \(p(\text{données} \given \mathcal{H}_{0}) \neq p(\mathcal{H}_{0} \given \text{données})\).
Dérivation du théorème de Bayes
À partir des axiomes de Kolmogorov, et des définitions des probabilités conjointes, marginales, et conditionnelles, découle la règle du produit (version générale) :
Par exemple, \(\Pr(x = 2, y = \text{pair}) = \dfrac{\frac{3}{36}}{\frac{18}{36}} \times \frac{18}{36} = \dfrac{\frac{3}{36}}{\frac{3}{36}} \times \frac{3}{36} = \frac{3}{18} \times \frac{18}{36} = \frac{3}{6} \times \frac{6}{36} = \frac{3}{36} \approx 0.0833\).
Dérivation du théorème de Bayes
À partir des axiomes de Kolmogorov, et des définitions des probabilités conjointes, marginales, et conditionnelles, découle la règle du produit (version générale) :
Imaginons que nous disposions d’un sac contenant 4 billes. Ces billes peuvent être soit blanches, soit bleues. Nous savons qu’il y a précisément 4 billes, mais nous ne connaissons pas le nombre de billes de chaque couleur.
Nous savons cependant qu’il existe cinq possibilités (que nous considérons comme nos hypothèses) :
Le but est de déterminer quelle combinaison serait la plus probable, sachant certaines observations. Imaginons que l’on tire trois billes à la suite, avec remise, et que l’on obtienne la séquence suivante : 🔵⚪🔵.
Cette séquence représente nos données. À partir de là, quelle inférence peut-on faire sur le contenu du sac ? En d’autres termes, que peut-on dire de la probabilité de chaque hypothèse ?
⚪⚪⚪⚪
🔵⚪⚪⚪
🔵🔵⚪⚪
🔵🔵🔵⚪
🔵🔵🔵🔵
Énumérer les possibilités
Hypothèse : 🔵⚪⚪⚪
Données : 🔵
Énumérer les possibilités
Hypothèse : 🔵⚪⚪⚪
Données : 🔵⚪
Énumérer les possibilités
Hypothèse : 🔵⚪⚪⚪
Données : 🔵⚪🔵
Énumérer les possibilités
Hypothèse : 🔵⚪⚪⚪
Données : 🔵⚪🔵
Énumérer les possibilités
Sous cette hypothèse, \(3\) chemins (sur \(4^{3} = 64\)) conduisent au résultat obtenu. Qu’en est-il des autres hypothèses ?
Comparer les hypothèses
Au vu des données, l’hypothèse la plus probable est celle qui maximise le nombre de manières possibles d’obtenir les données obtenues.
Hypothèse
Façons d’obtenir les données
⚪⚪⚪⚪
0 x 4 x 0 = 0
🔵⚪⚪⚪
1 x 3 x 1 = 3
🔵🔵⚪⚪
2 x 2 x 2 = 8
🔵🔵🔵⚪
3 x 1 x 3 = 9
🔵🔵🔵🔵
4 x 0 x 4 = 0
Accumulation d’évidence
Dans le cas précédent, nous avons considéré que toutes les hypothèses étaient équiprobables a priori (suivant le principe d’indifférence). Cependant, on pourrait avoir de l’information a priori, provenant de nos connaissances (des particularités des sacs de billes par exemple) ou de données antérieures.
Imaginons que nous tirions une nouvelle bille du sac, comment incorporer cette nouvelle donnée ?
Accumulation d’évidence
Il suffit d’appliquer la même stratégie que précédemment, et de mettre à jour le dernier compte en le multipliant par ces nouvelles données. Yesterday’s posterior is today’s prior (Lindley, 2000).
Hypothèse
Façons de produire 🔵
Compte précédent
Nouveau compte
⚪⚪⚪⚪
0
0
0 x 0 = 0
🔵⚪⚪⚪
1
3
3 x 1 = 3
🔵🔵⚪⚪
2
8
8 x 2 = 16
🔵🔵🔵⚪
3
9
9 x 3 = 27
🔵🔵🔵🔵
4
0
0 x 4 = 0
Incorporer un prior
Supposons maintenant qu’un employé de l’usine de fabrication des billes nous dise que les billes bleues sont rares… Cet employé nous dit que pour chaque sac contenant 3 billes bleues, ils fabriquent deux sacs en contenant seulement deux, et trois sacs en contenant seulement une. Il nous apprend également que tous les sacs contiennent au moins une bille bleue et une bille blanche…
Hypothèse
Compte précédent
Prior usine
Nouveau compte
⚪⚪⚪⚪
0
0
0 x 0 = 0
🔵⚪⚪⚪
3
3
3 x 3 = 9
🔵🔵⚪⚪
16
2
16 x 2 = 32
🔵🔵🔵⚪
27
1
27 x 1 = 27
🔵🔵🔵🔵
0
0
0 x 0 = 0
Des énumérations aux probabilités
La probabilité d’une hypothèse après avoir observé certaines données est proportionnelle au nombre de façons qu’a cette hypothèse de produire les données observées, multiplié par sa probabilité a priori.
Pour passer des plausibilités aux probabilités, il suffit de standardiser ces plausibilités pour que la somme des plausibilités de toutes les hypothèses possibles soit égale à \(1\).
On définit \(p\) comme la proportion de billes bleues dans le sac.
Hypothèse
\(p\)
Manières de produire les données
Probabilité
⚪⚪⚪⚪
0
0
0
🔵⚪⚪⚪
0.25
3
0.15
🔵🔵⚪⚪
0.5
8
0.40
🔵🔵🔵⚪
0.75
9
0.45
🔵🔵🔵🔵
1
0
0
ways <-c(0, 3, 8, 9, 0)ways /sum(ways)
[1] 0.00 0.15 0.40 0.45 0.00
Notations, terminologie
\(\theta\) est un paramètre ou vecteur de paramètres (e.g., la proportion de billes bleues).
\(\color{orangered}{p(x \given \theta)}\)la probabilité conditionnelle des données \(x\) sachant le paramètre \(\theta\)\(\color{orangered}{[p(x \given \theta = \theta)]}\).
\(\color{orangered}{p(x \given \theta)}\)une fois que la valeur de \(x\) est connue, est vue comme la fonction de vraisemblance (likelihood) du paramètre \(\theta\). Attention, il ne s’agit pas d’une distribution de probabilité valide \(\color{orangered}{[p(x = x \given \theta)]}\).
\(\color{steelblue}{p(\theta)}\)la probabilité a priori de \(\theta\).
\(\color{purple}{p(\theta \given x)}\)la probabilité a posteriori de \(\theta\) (sachant \(x\)).
\(\color{green}{p(x)}\)la probabilité marginale de \(x\) (sur \(\theta\)) ou “vraisemblance marginale”, “vraisemblance intégrée”.
Dans ce cadre, pour chaque problème, nous allons suivre 3 étapes :
Construire le modèle (l’histoire des données): likelihood + prior.
Mettre à jour grâce aux données, calculer la probabilité a posteriori.
Évaluer le modèle, qualité du “fit”, sensibilité, résumer les résultats, ré-ajuster.
Bayesian inference is really just counting and comparing of possibilities […] in order to make good inference about what actually happened, it helps to consider everything that could have happened (McElreath, 2016).
Un peu de logique
Un peu de logique, quelques syllogismes
Exemple 1
Si un suspect ment, il transpire. (On observe que) Ce suspect transpire.
Par conséquent, ce suspect ment.
Exemple 2
Si un suspect transpire, il ment. (On observe que) Ce suspect ne transpire pas.
Par conséquent, ce suspect ne ment pas.
Exemple 3
Tous les menteurs transpirent. (On observe que) Ce suspect ne transpire pas.
Par conséquent, ce suspect n’est pas un menteur.
Arguments invalides
Affirmation du conséquent : \(\dfrac{A \Rightarrow B, \ B}{A}\)
Si il a plu, alors le sol est mouillé (A implique B). Le sol est mouillé (B). Donc il a plu (A).
Si il a plu, alors le sol est mouillé (A implique B). Il n’a pas plus (non A). Donc le sol n’est pas mouillé (non B).
Arguments valides
Modus ponens : \(\dfrac{A \Rightarrow B, \ A}{B}\)
Si on est lundi, alors John ira au travail (A implique B). On est lundi (A). Donc John ira au travail (B).
Modus tollens : \(\dfrac{A \Rightarrow B, \ \neg B}{\neg A}\)
Si mon chien détecte un intru, alors il aboie (A implique B). Mon chien n’a pas aboyé (non B). Donc il n’a pas détecté d’intrus (non A).
Logique, fréquentisme, et raisonnement probabiliste
Le modus tollens est un des raisonnements logiques les plus importants et les plus performants. Dans le cadre de l’inférence statistique, il s’applique parfaitement au cas suivant : “Si \(\mathcal{H}_{0}\) est vraie, alors \(x\) ne devrait pas se produire. On observe \(x\). Alors \(\mathcal{H}_{0}\) est fausse”.
Mais nous avons le plus souvent affaire à des hypothèses “continues” (probabilistes).
L’inférence fréquentiste (fishérienne) est elle aussi probabiliste, de la forme “Si \(\mathcal{H}_{0}\) est vraie, alors \(x\) est peu probable. On observe \(x\). Alors \(\mathcal{H}_{0}\) est peu probable.”
Si un individu est un homme (“man”), alors il est peu probable qu’il soit pape.
François est pape.
François n’est donc certainement pas un homme…
L’échec de la falsification
Poppérisme naïf : la science progresse par falsification logique, donc la statistique devrait viser la falsification. Mais…
Les hypothèses théoriques ne sont pas les modèles (hypothèses statistiques).
Models are devices that connect theories to data. A model is an instanciation of a theory as a set of probabilistic statements (Rouder, Morey, & Wagenmakers, 2016).
La falsification concerne le problème de la démarcation, pas celui de la méthode.
La science est une technologie sociale, la falsification est consensuelle, et non pas logique.
Comparaison de modèles
On s’intéresse au lien entre deux variables aléatoires continues, \(x\) et \(y\).
Comparaison de modèles
L’hypothèse de modélisation la plus simple est de postuler une relation linéaire.
Comparaison de modèles
Cette description peut-être améliorée pour mieux prendre en compte les données qui s’écartent de la prédiction linéaire.
Comparaison de modèles
Un ensemble de \(N\) points peut être exhaustivement (i.e., sans erreur) décrit par une fonction polynomiale d’ordre \(N-1\). Augmenter la complexité du modèle améliore donc la précision de notre description des données mais réduit la généralisabilité de ses prédictions (bias-variance tradeoff).
Nous avons besoin d’outils qui prennent en compte le rapport qualité de la description / complexité, c’est à dire la parcimonie des modèles (e.g., AIC, WAIC).
Notre stratégie
Nous avons nesoin d’un cadre pour développer des modèles cohérents. Nos outils :
Modélisation bayésienne : utiliser les probabilités pour décrire l’incertitude.
Modélisation multi-niveaux : des modèles à multiples niveaux d’incertitude.
Approche par comparaison de modèles : au lieu d’essayer de falsifier un “null model”, on va comparer des modèles intéressants (par exemple via des critères d’information comme l’AIC ou WAIC).
Rappels : Théorie des probabilités
Loi de probabilité, cas discret
Une fonction de masse (probability mass function, ou PMF) est une fonction qui attribue une probabilité à chaque valeur d’une variable aléatoire. Exemple de la distribution binomiale pour une pièce non biaisée (\(\theta = 0.5\)), probabilité d’obtenir \(N\) faces sur 10 lancers.
# PMFs sum to 1dbinom(x =0:10, size =10, prob =0.5) %>% sum
[1] 1
Loi de probabilité, cas continu
Une (fonction de) densité de probabilité (probability density function, ou PDF), est une fonction qui permet de représenter une loi de probabilité sous forme d’intégrales (l’équivalent de la PMF pour des variables aléatoires strictement continues).
# PDFs integrate to 1integrate(dnorm, -Inf, Inf, mean =100, sd =15)
1 with absolute error < 1.3e-06
Qu’est-ce qu’une intégrale ?
Une intégrale correspond à la surface (aire géométrique) délimitée par la représentation graphique d’une fonction, l’aire sous la courbe. Une distribution est dite impropre si son intégrale n’est pas égale à un nombre fini (e.g., \(+ \infty\)) et normalisée si son intégrale est égale à 1.
Aparté, qu’est-ce qu’une intégrale ?
L’intégrale de \(f(x)\) sur l’intervalle [90 ; 96] vaut : \(p(90 < x < 96) = \int_{90}^{96} f(x) \ \mathrm{d}x = 0.142\).
Chez les femmes âgées de 40-50 ans, sans antécédents familiaux et sans symptômes, la probabilité d’avoir un cancer du sein est de 0.008.
Propriétés de la mammographie :
Si une femme a un cancer du sein, la probabilité d’avoir un résultat positif est de 0.90.
Si une femme n’a pas de cancer du sein, la probabilité d’avoir un résultat positif est de 0.07.
Imaginons qu’une femme passe une mammographie, et que le test est positif. Que doit-on inférer ? Quelle est la probabilité que cette femme ait un cancer du sein ?
Logique du maximum likelihood
Une approche générale de l’estimation de paramètre.
Les paramètres gouvernent les données, les données dépendent des paramètres.
Sachant certaines valeurs des paramètres, nous pouvons calculer la probabilité conditionnelle des données observées.
Le résultat de la mammographie (i.e., les données) dépend de la présence / absence d’un cancer du sein (i.e., le paramètre).
L’approche par maximum de vraisemblance pose la question : “Quelles sont les valeurs du paramètre qui rendent les données observées les plus probables ?”
Spécifier la probabilité conditionnelle des données \(p(x \given \theta)\).
Quand on le considère comme fonction de \(\theta\), on parle de vraisemblance (likelihood) : \(\mathcal{L}(\theta \given x) = p(X = x \given \theta)\).
L’approche par maximum de vraisemblance consiste donc à maximiser cette fonction, en utilisant les valeurs (connues) de \(x\).
Probabilité conditionnelle
Si une femme a un cancer du sein, la probabilité d’obtenir un résultat positif est de .90.
Si le test est positif, la logique du maximum de vraisemblance consiste à se demander quelle est la valeur de \(\text{Cancer}\) qui maximise\(\text{Mam=+}\) ?
\(\color{steelblue}{p(\theta)}\)représente la probabilité a priori de \(\theta\) : tout ce qu’on sait de \(\theta\) avant d’observer les données. En l’occurrence : \(\Pr(\text{Cancer=+}) = 0.008\) et \(\Pr(\text{Cancer=-}) = 0.992\).
\(\color{orangered}{p(x \given \theta)}\)représente la probabilité conditionnelle des données \(x\) sachant le paramètre \(\theta\), qu’on appelle aussi la fonction de vraisemblance (likelihood function) du paramètre \(\theta\).
\(\color{purple}{p(\theta \given x)}\)la probabilité a posteriori de \(\theta\) sachant \(x\), c’est à dire ce qu’on sait de \(\theta\) après avoir pris connaissance de \(x\).
(posterior <- (like$"Mam+"* prior ) / marginal )
[1] 0.09394572 0.90605428
L’inférence bayésienne comme mise à jour probabiliste des connaissances
Avant de passer le mammogramme, la probabilité qu’une femme tirée au sort ait un cancer du sein était de \(\Pr(\text{Cancer=+}) = 0.008\) (prior). Après un résultat positif, cette probabilité est devenue \(\Pr(\text{Cancer=+} \given \text{Mam=+}) = 0.09\) (posterior). Ces probabilités sont des expressions de nos connaissances. Après un mammogramme positif, on pense toujours que c’est “très improbable” d’avoir un cancer, mais cette probabilité a considérablement évolué relativement à “avant le test”.
A Bayesianly justifiable analysis is one that treats known values as observed values of random variables, treats unknown values as unobserved random variables, and calculates the conditional distribution of unknowns given knowns and model specifications using Bayes’ theorem (Rubin, 1984).
Exemple d’application n°2
Monty Hall
Monty Hall
Que-feriez-vous (intuitivement) ? Analysez ensuite la situation en utilisant le théorème de Bayes.
Monty Hall
Il s’agit d’un problème de probabilités conditionnelles… Définissons les évènements suivants :
P1 : l’animateur ouvre la porte 1 P2 : l’animateur ouvre la porte 2 P3 : l’animateur ouvre la porte 3
V1 : la voiture se trouve derrière la porte 1 V2 : la voiture se trouve derrière la porte 2 V3 : la voiture se trouve derrière la porte 3
Si on a choisi la porte n°1 et que l’animateur a choisi la porte n°3 (et qu’il sait où se trouve la voiture), il s’ensuit que :
On sait que \(\Pr(\text{V3} | \text{P3}) = 0\), on veut connaître \(\Pr(\text{V1} \given \text{P3})\) et \(\Pr(\text{V2} \given \text{P3})\) afin de pouvoir choisir. Résolution par le théorème de Bayes.
Nos intuitions probabilistes sont généralement très mauvaises. Au lieu de compter sur elles, il est plus sage de se reposer sur des règles logiques (e.g., modus ponens et modus tollens) et probabilistes (e.g., règle du produit, règle de la somme, théorème de Bayes) simples, nous assurant de réaliser l’inférence la plus juste. Autrement dit, “don’t be clever” (McElreath, 2020).
Retenir les définitions des probabilités conjointes, marginales, et conditionnelles, ainsi que la règle du produit et l’utilisation du théorème de Bayes (qui en découle) pour mettre à jour des connaissances :
Carnap, R. (1971). Logical foundations of probability (4. impr). Univ. of Chicago Press [u.a.].
Gigerenzer, G., Gaissmaier, W., Kurz-Milcke, E., Schwartz, L. M., & Woloshin, S. (2007). Helping Doctors and Patients Make Sense of Health Statistics. Psychological Science in the Public Interest, 8(2), 53–96. https://doi.org/10.1111/j.1539-6053.2008.00033.x
Jaynes, E. T. (1986). Bayesian methods: General background.
Rouder, J. N., Morey, R. D., Verhagen, J., Province, J. M., & Wagenmakers, E.-J. (2016). Is There a Free Lunch in Inference? Topics in Cognitive Science, 8(3), 520–547. https://doi.org/10.1111/tops.12214
Rouder, J. N., Morey, R. D., & Wagenmakers, E.-J. (2016). The Interplay between Subjectivity, Statistical Practice, and Psychological Science. Collabra, 2(1), 6. https://doi.org/10.1525/collabra.28
Rubin, D. B. (1984). Bayesianly justifiable and relevant frequency calculations for the applied statistician. The Annals of Statistics, 12(4). https://doi.org/10.1214/aos/1176346785
